要讲扩散模型，不得不提VAE。VAE和GAN一样，都是从隐变量
Z
Z
Z生成目标数据
X
X
X。
它们假设隐变量服从某种常见的概率分布（比如正态分布），然后希望训练一个模型
X
=
g
(
Z
)
X=g(Z)
X=g(Z)，这个模型将原来的概率分布映射到训练集的概率分布，也就是分布的变换。注意，VAE和GAN的本质都是概率分布的映射。
tip:关于隐变量解释：
换句话说，大致意思就是先用某种分布随机生成一组隐变量，然后这个隐变量会经过一个生成器生成一组目标数据。VAE和GAN都希望这组数据的分布
X
^
\hat{X}
X^和目标分布
X
X
X尽量接近。
但是这种方法本质上是难以实现，因为“尽量接近”并没有一个确定的关于 X ^ \hat{X} X^和 X X X的相似度的评判标准。换句话说，这种方法的难度就在于，必须去猜测“它们的分布相等吗”这个问题，而缺少真正interpretable的价值判断。
两个已知的概率分布求相似度的，而
X
^
\hat{X}
X^和
X
X
X的概率分布目前都是未知。GAN的做法就是直接把这个度量标准也学过来就行，相当生猛。但是这样做的问题在于依然不interpretable，非常不优雅。VAE的做法就优雅很多了，我们先来看VAE是怎么做的，理解了VAE以后再去理解Diffussion就很自然了。
隐变量
Z
Z
Z，这东西可以生成
Z
Z
Z。不妨假设
Z
Z
Z满足正态分布，那就可以先从正态分布里面随便取一个
Z
Z
Z，，然后用
Z
Z
Z和
X
X
X的关系算出
P
(
X
)
P(X)
P(X)，公式：
P
(
X
)
=
∑
Z
P
(
X
∣
Z
)
P
(
Z
)
P(X)=\sum_ZP(X|Z)P(Z)
P(X)=Z∑P(X∣Z)P(Z)在整个 VAE 模型中，我们并没有去使用
P
(
Z
)
P(Z)
P(Z)（先验分布,隐变量空间的分布）是正态分布的假设，我们用的是假设
P
(
Z
∣
X
)
P(Z|X)
P(Z∣X)（后验分布）是正态分布。
具体来说，给定一个真实样本
X
k
X_k
Xk，我们假设存在一个专属于
X
k
X_k
Xk的分布
P
(
Z
∣
X
k
)
P(Z|X_k)
P(Z∣Xk)（后验分布），并进一步假设这个分布是（独立的、多元的）正态分布。
为什么要强调“专属”呢？
这时，每一个 X k X_k Xk都配上了一个专属的正态分布，，才方便后面的生成器做还原。但这样有多少个 X X X就有多少个正态分布了（ k k k个 X X Xsample，就有 k k k个正态分布 P ( X k ∣ Z ) P(X_k|Z) P(Xk∣Z)）。
我们知道正态分布有两组参数：均值
μ
μ
μ和方差
σ
2
σ_2
σ2（多元的话，它们都是向量），那怎么找出专属于
X
k
X_k
Xk的正态分布
P
(
Z
∣
X
k
)
P(Z|X_k)
P(Z∣Xk)的均值和方差呢？好像并没有什么直接的思路。那好吧，那我就用神经网络来拟合出来吧！这就是神经网络时代的哲学：难算的我们都用神经网络来拟合。
于是我们构建两个神经网络
μ
k
=
f
1
(
X
k
)
,
log
σ
k
2
=
f
2
(
X
k
)
μ_k=f_1(X_k),\logσ^2_k=f_2(X_k)
μk=f1(Xk),logσk2=f2(Xk)来算它们了，。我们选择拟合
log
σ
k
2
\logσ^2_k
logσk2而不是直接拟合
σ
k
2
σ^2_k
σk2，是因为
σ
k
2
σ^2_k
σk2总是非负的，需要加激活函数处理，而拟合
log
σ
k
2
\logσ^2_k
logσk2不需要加激活函数，因为它可正可负。
到这里，就能知道专属于
X
k
X_k
Xk的均值和方差了，也就知道它的正态分布长什么样了，然后从这个专属分布中采样一个
Z
k
Z_k
Zk出来，然后经过一个生成器得到
X
^
k
=
g
(
Z
k
)
\hat{X}_k=g(Z_k)
X^k=g(Zk)，现在我们可以放心地最小化
D
(
X
^
k
,
X
k
)
2
D(\hat{X}_k,X_k)^2
D(X^k,Xk)2，因为
Z
k
Z_k
Zk是从专属
X
k
X_k
Xk的分布中采样出来的，这个生成器应该要把开始的
X
k
X_k
Xk还原回来。
图中均值方差计算模块就是两个神经网络： μ k = f 1 ( X k ) , log σ k 2 = f 2 ( X k ) μ_k=f_1(X_k),\logσ^2_k=f_2(X_k) μk=f1(Xk),logσk2=f2(Xk)
均值和方差的计算本质上都是encoder，VAE其实利用了两个encoder去分别学习均值和方差
生成器是通过最小化 D ( X ^ k , X k ) 2 D(\hat{X}_k,X_k)^2 D(X^k,Xk)2来训练的，最终会使得 X k X_k Xk和 X ^ k \hat{X}_k X^k趋向一致
因为 Z k Z_k Zk是通过重新采样过的，，而不是直接通过均值和方差encoder算出来的，所以这个生成器的输入 Z Z Z是有噪声的，也就是重构过程受噪声影响
显然噪声会增加重构的难度，不过好在这个噪声强度（也就是方差决定的）通过一个神经网络算出来的，所以最终模型为了重构得更好(也就是最终会使得
X
k
X_k
Xk和
X
^
k
\hat{X}_k
X^k趋向一致)，肯定会想尽办法让方差为
0
0
0。而方差为
0
0
0的话，也就没有随机性了，所以不管怎么采样其实都只是得到确定的结果（也就是均值，根据方差公式就可以得出每个采样都是均值），只拟合一个当然比拟合多个要容易，而均值是通过另外一个神经网络算出来的，模型则会慢慢退化成普通的AutoEncoder，噪声不再起作用，VAE就变成AE了
VAE就是让所有的 P ( Z ∣ X ) P(Z|X) P(Z∣X)趋于标准的正态分布 N ( 0 , I ) N(0,I) N(0,I)，这样就防止了噪声为零，同时保证了模型具有生成能力。
怎么理解“保证了生成能力”呢？
这样我们的先验假设得证：
P
(
Z
)
P(Z)
P(Z)是标准的正态分布。然后就可以从
N
(
0
,
I
)
N(0,I)
N(0,I)中采样来生成图像了
那怎么让所有的 p ( Z ∣ X ) p(Z|X) p(Z∣X)都向 N ( 0 , I ) N(0,I) N(0,I)看齐呢？
不过，这又会面临着这两个损失的比例要怎么选取的问题，选取得不好，生成的图像会比较模糊。所以，原论文直接算了一般（各分量独立的）正态分布与标准正态分布的KL散度
K
L
(
N
(
μ
,
σ
2
)
∥
N
(
0
,
I
)
)
KL(N(μ,σ^2)∥N(0,I))
KL(N(μ,σ2)∥N(0,I))作为这个额外的loss，计算结果为:
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{aligned…
下面分别里面的三项：
即 L o s s μ , σ 2 = 1 2 ∑ i = 1 d ( − log σ i 2 + μ i 2 + σ i 2 − 1 ) Loss_{μ,σ^2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d}(-\log \sigma_i^2 + \mu_i^2 + \sigma_i^2-1) Lossμ,σ2=21i=1∑d(−logσi2+μi2+σi2−1)
这里的
d
d
d是隐变量
Z
Z
Z的维度，而
μ
i
μ_i
μi和
σ
i
2
σ^2_i
σi2分别代表一般正态分布的均值向量和方差向量的第
i
i
i个分量。直接用这个式子做补充
l
o
s
s
loss
loss，就不用考虑均值损失和方差损失的相对比例问题了。显然，这个
l
o
s
s
loss
loss也可以分两部分理解：
L
o
s
s
μ
,
σ
2
=
L
μ
+
L
σ
2
Loss_{μ,σ^2}= L_\mu +L_\sigma^2
Lossμ,σ2=Lμ+Lσ2
L
μ
=
1
2
∑
i
=
1
d
=
1
2
∥
f
1
(
X
)
∥
2
L_\mu=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{d}=\frac{1}{2}∥f_1(X)∥^2
Lμ=21i=1∑d=21∥f1(X)∥2
L
σ
2
=
1
2
∑
i
=
1
d
(
−
log
σ
i
2
+
σ
i
2
−
1
)
L_\sigma^2=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{d}\left(-\log \sigma_i^2 + \sigma_i^2-1\right)
Lσ2=21i=1∑d(−logσi2+σi2−1)
VAE的本质是什么？
在VAE中，它的Encoder有两个，一个用来计算均值，一个用来计算方差，这已经让人意外了：Encoder不是用来Encode的，是用来算均值和方差的，还是用神经网络计算的
它本质上就是在我们常规的自编码器的基础上，对encoder的结果（在VAE中对应着计算均值的网络）加上了“高斯噪声”（正态分布的随机采样），使得结果decoder能够对噪声有鲁棒性；而那个额外的KL loss（目的是让均值为0，方差为1），事实上就是相当于对encoder的一个正则项，希望encoder出来的东西均有零均值，为了防止噪声消失，将所有$P(Z|X)$趋近于标准正态分布，将encoder的均值尽量降为 0，而将方差尽量保持住。这样一来，当decoder训练的不好的时候，整个体系就可以降低噪声；当decoder逐渐拟合的时候，就会增加噪声。
那另外一个encoder（对应着计算方差的网络）的作用呢？它是用来动态调节噪声的强度的。直觉上来想，当decoder还没有训练好时（重构误差远大于KL loss），就会适当降低噪声（KL loss增加），使得拟合起来容易一些（重构误差开始下降）；反之，如果decoder训练得还不错时（重构误差小于KL loss），这时候噪声就会增加（KL loss减少），使得拟合更加困难了（重构误差又开始增加），这时候decoder就要想办法提高它的生成能力了。
我们希望X经过编码后，Z的分布都具有零均值和单位方差，这个“希望”是通过加入了KL loss来实现的,如果现在多了类别信息Y，我们可以希望同一个类的样本都有一个专属的均值
μ
Y
μ^Y
μY（方差不变，还是单位方差），这个
μ
Y
μ^Y
μY让模型自己训练出来。这样的话，有多少个类就有多少个正态分布，而在生成的时候，我们就可以通过控制均值来控制生成图像的类别。事实上，这样可能也是在VAE的基础上加入最少的代码来实现CVAE的方案了，因为这个“新希望”也只需通过修改KL loss实现:
L
o
s
s
μ
,
σ
2
=
1
2
∑
i
=
1
d
(
−
log
σ
i
2
+
(
μ
i
−
μ
i
Y
)
2
+
σ
i
2
−
1
)
Loss_{μ,σ^2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d}(-\log \sigma_i^2 + (\mu_i-\mu_i^Y)^2 + \sigma_i^2-1)
Lossμ,σ2=21i=1∑d(−logσi2+(μi−μiY)2+σi2−1)
苏剑林
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