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#coding:utf-8
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#一阶导
def fun1(X, WINDOW = 5):
result = []
for k in range(WINDOW, len(X)-WINDOW):
mid = (X[k+WINDOW]-X[k-WINDOW])/(2*WINDOW)
result.append(mid)
return result
#二阶导
def fun2(X, WINDOW = 5):
result = []
for k in range(WINDOW, len(X)-WINDOW):
mid = (X[k+WINDOW]-2*X[k]+X[k-WINDOW])/(WINDOW*WINDOW)
result.append(mid)
return result
X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
result1 = fun1(X, 3)
result2 = fun2(X, 2)
如上自己写,或者用numpy自带的多项式的n阶导函数。
得到多项式的n阶导函数:多项式.deriv(m = n)
from numpy import *
X = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]
result = X.deriv(m = n) #n是导数阶数
就业市场上,机器学习工程师总是受到质疑,人们不相信他们数学功底深厚。事实上,所有机器学习算法的本质都是数学问题,无论是支持向量机、主成分分析还是神经网络最终都归结为对偶优化、谱分解筛选和连续非线性函数组合等数学问题。只有彻底理解数学,才能正真掌握这些机器学习算法。
Python中的各种数据库能帮助人们利用高级算法来完成一些简单步骤。例如包含了K近邻算法、K均值、决策树等算法的机器学习算法库Scikit-learn,或者Keras,都可以帮助人们构建神经网络架构,而不必了解卷积神经网络CNNs或是循环神经网络RNNs背后的细节。
然而,想要成为一名优秀的机器学习工程师需要的远不止这些。在面试时,面试官通常会问及如何从零开始实现K近邻算法、决策树,又或者如何导出线性回归、softmax反向传播方程的矩阵闭式解等问题。
回顾一些微积分的基本概念助你准备面试,如一元和多元函数的导数、梯度、雅可比矩阵和黑塞矩阵。同时,本文还能为你深入研究机器学习、尤其是神经网络背后的数学运算打下良好的基础。这些概念将通过5个导数公式来展示,绝对是面试必备干货。
导数1:复合指数函数
指数函数非常基础常见,而且非常有用。它是一个标准正函数。在实数ℝ中eˣ 0,同时指数函数还有一个重要的性质,即e⁰ = 1。
另外,指数函数与对数函数互为反函数。指数函数也是最容易求导的函数之一,因为指数函数的导数就是其本身,即(eˣ)’ = eˣ。当指数与另一个函数组合形成一个复合函数时,复合函数的导数就变得更为复杂了。在这种情况下,应遵循链式法则来求导,f(g(x))的导数等于f’(g(x))⋅g’(x),即:
运用链式法则可以计算出f(x)= eˣ²的导数。先求g(x)=x²的导数:g(x)’=2x。而指数函数的导数为其本身:(eˣ)’=eˣ。将这两个导数相乘,就可以得到复合函数f(x)= eˣ²的导数:
这是个非常简单的例子,乍一看可能无关紧要,但它经常在面试开始前被面试官用来试探面试者的能力。如果你已经很久没有温习过导数了,那么很难确保自己能够迅速应对这些简单问题。虽然它不一定会让你得到这份工作,但如果你连这么一个基本问题都回答不上,那你肯定会失去这份工作。
导数2:底数为变量的复变指数
复变指数函数是一个经典面试问题,尤其是在计量金融领域,它比科技公司招聘机器学习职位更为看重数学技能。复变指数函数迫使面试者走出舒适区。但实际上,这个问题最难的部分是如何找准正确的方向。
当函数逼近一个指数函数时,首先最重要的是要意识到指数函数与对数函数互为反函数,其次,每个指数函数都可以转化为自然指数函数的形式:
在对复变指数函数f(x) = xˣ求导前,要先用一个简单的指数函数f(x) = 2ˣ来证明复变函数的一种性质。先用上述方程将2ˣ 转化为exp(xln(2)),再用链式法则求导。
现在回到原来的函数f(x)=xˣ,只要把它转化为f(x)=exp(x ln x),求导就变得相对简单,可能唯一困难的部分是链式法则求导这一步。
注意这里是用乘积法则(uv)’=u’v+uv’来求指数xln(x)的导数。
通常情况下,面试官提问这个函数时不会告诉你函数定义域。如果面试官没有给定函数定义域,他可能是想测试一下你的数学敏锐度。这便是这个问题具有欺骗性的地方。没有限定定义域,xˣ既可以为正也可以为负。当x为负时,如(-0.9)^(-0.9),结果为复数-1.05–0.34i。
其中有两个非常漂亮的指数函数图就是用python的matplotlib画出来的。这一期,我们将要介绍如何利用python绘制出如下指数函数。
图 1 a1图 1 a1
我们知道当0 ,指数函数 是单调递减的,当a1 时,指数函数是单调递增的。所以我们首先要定义出指数函数,将a值做不同初始化
import math
...
def exponential_func(x, a): #定义指数函数
y=math.pow(a, x)
return y
然后,利用numpy构造出自变量,利用上面定义的指数函数来计算出因变量
X=np.linspace(-4, 4, 40) #构造自变量组
Y=[exponential_func(x) for x in X] #求函数值
有了自变量和因变量的一些散点,那么就可以模拟我们平时画函数操作——描点绘图,利用下面代码就可以实现
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.axisartist as axisartist #导入坐标轴加工模块
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
fig=plt.figure(figsize=(6,4)) #新建画布
ax=axisartist.Subplot(fig,111) #使用axisartist.Subplot方法创建一个绘图区对象ax
fig.add_axes(ax) #将绘图区对象添加到画布中
def exponential_func(x, a=2): #定义指数函数
y=math.pow(a, x)
return y
X=np.linspace(-4, 4, 40) #构造自变量组
Y=[exponential_func(x) for x in X] #求函数值
ax.plot(X, Y) #绘制指数函数
plt.show()
图 2 a=2
图2虽简单,但麻雀虽小五脏俱全,指数函数该有都有,接下来是如何让其看起来像我们在作图纸上面画的那么美观,这里重点介绍axisartist 坐标轴加工类,在的时候我们已经用过了,这里就不再多说了。我们只需要在上面代码后面加上一些代码来将坐标轴好好打扮一番。
图 3 a1 完整代码# -*- coding: utf-8 -*-图 3 a1 完整代码# -*- coding: utf-8 -*-"""Created on Sun Feb 16 10:19:23 2020project name:@author: 帅帅de三叔"""import mathimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport mp
打开python运行环境。
导入微分的模块包:from sympy import *。
定义符号变量:x = symbols('x')
定义一个函数:f = x**9
diff = diff(f,x)求导
最后输入diff,即可显示其变量值了。
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使用sympy.diff求导
from sympy import *init_printing(use_unicode=True)x = symbols("x")f = log(x)
一阶导数
diff(f, x)
二阶导数可以传入第三个参数,表示阶数
diff(f, x, 2)
希望可以帮助到你。