标准正态分布的上α分位点：设X~N(0,1),对于任给的α,(0α1),称满足P(XZα)= α的点Zα为标准正态分布的上α分位点。
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当α=0.01时。1- α=0.99。在标准正态分布表中函数值。
中找到最接近0.99的值：0.9898与0.9901，对应的x值分。
别为2.32与2.33，故可取其算术平均值为上0.01分位点。
zα=2.325；
同理：α=0.003,1- α=0.097，zα=2.75，
α/2=0.0015，1-α/2 =0.09985，zα/2=2.96。
分位点可以查正态分布表，在正态分布表中找α,对应查出Zα.例如查Z0.025的值,即需要查1-0.025=0.975对应的Z值,翻开正态分布表,刚好能查到0.9750对应的Z值为1.96,故Z0.025=1.96 。
如果要查Zα=1.96对应的α值,需要先查1.96,对应着0.975,1-0.975=0.025，0.0125即为α值。
扩展资料
标准正态分布的特点
平均值与它的众数以及中位数同一数值。
函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ^2)。
标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。
由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难。
但也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化。
参考资料来源：百度百科-标准正态分布
Shape Parameters
形态参数
While a general continuous random variable can be shifted and scaled
with the loc and scale parameters, some distributions require additional
shape parameters. For instance, the gamma distribution, with density
γ(x,a)=λ(λx)a−1Γ(a)e−λx,
requires the shape parameter a. Observe that setting λ can be obtained by setting the scale keyword to 1/λ.
虽然一个一般的连续随机变量可以被位移和伸缩通过loc和scale参数，但一些分布还需要额外的形态参数。作为例子，看到这个伽马分布，这是它的密度函数
γ(x,a)=λ(λx)a−1Γ(a)e−λx,
要求一个形态参数a。注意到λ的设置可以通过设置scale关键字为1/λ进行。
Let’s check the number and name of the shape parameters of the gamma
distribution. (We know from the above that this should be 1.)
让我们检查伽马分布的形态参数的名字的数量。（我们知道从上面知道其应该为1）
from scipy.stats import gamma
gamma.numargs
1
gamma.shapes
'a'
Now we set the value of the shape variable to 1 to obtain the
exponential distribution, so that we compare easily whether we get the
results we expect.
现在我们设置形态变量的值为1以变成指数分布。所以我们可以容易的比较是否得到了我们所期望的结果。
gamma(1, scale=2.).stats(moments="mv")
(array(2.0), array(4.0))
Notice that we can also specify shape parameters as keywords:
注意我们也可以以关键字的方式指定形态参数：
gamma(a=1, scale=2.).stats(moments="mv")
(array(2.0), array(4.0))
Freezing a Distribution
冻结分布
Passing the loc and scale keywords time and again can become quite
bothersome. The concept of freezing a RV is used to solve such problems.
不断地传递loc与scale关键字最终会让人厌烦。而冻结RV的概念被用来解决这个问题。
rv = gamma(1, scale=2.)
By using rv we no longer have to include the scale or the shape
parameters anymore. Thus, distributions can be used in one of two ways,
either by passing all distribution parameters to each method call (such
as we did earlier) or by freezing the parameters for the instance of the
distribution. Let us check this:
通过使用rv我们不用再更多的包含scale与形态参数在任何情况下。显然，分布可以被多种方式使用，我们可以通过传递所有分布参数给对方法的每次调用（像我们之前做的那样）或者可以对一个分布对象冻结参数。让我们看看是怎么回事：
rv.mean(), rv.std()
(2.0, 2.0)
This is indeed what we should get.
这正是我们应该得到的。
Broadcasting
广播
The basic methods pdf and so on satisfy the usual numpy broadcasting
rules. For example, we can calculate the critical values for the upper
tail of the t distribution for different probabilites and degrees of
freedom.
像pdf这样的简单方法满足numpy的广播规则。作为例子，我们可以计算t分布的右尾分布的临界值对于不同的概率值以及自由度。
stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [[10], [11]])
array([[ 1.37218364, 1.81246112, 2.76376946],
[ 1.36343032, 1.79588482, 2.71807918]])
Here, the first row are the critical values for 10 degrees of freedom
and the second row for 11 degrees of freedom (d.o.f.). Thus, the
broadcasting rules give the same result of calling isf twice:
这里，第一行是以10自由度的临界值，而第二行是以11为自由度的临界值。所以，广播规则与下面调用了两次isf产生的结果相同。
stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 10)
array([ 1.37218364, 1.81246112, 2.76376946])
stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], 11)
array([ 1.36343032, 1.79588482, 2.71807918])
If the array with probabilities, i.e, [0.1, 0.05, 0.01] and the array of
degrees of freedom i.e., [10, 11, 12], have the same array shape, then
element wise matching is used. As an example, we can obtain the 10% tail
for 10 d.o.f., the 5% tail for 11 d.o.f. and the 1% tail for 12 d.o.f.
by calling
但是如果概率数组，如[0.1,0.05,0.01]与自由度数组,如[10,11,12]具有相同的数组形态，则元素对应捕捉被作用，我们可以分别得到10%，5%，1%尾的临界值对于10，11,12的自由度。
stats.t.isf([0.1, 0.05, 0.01], [10, 11, 12])
array([ 1.37218364, 1.79588482, 2.68099799])
Specific Points for Discrete Distributions
离散分布的特殊之处
Discrete distribution have mostly the same basic methods as the
continuous distributions. However pdf is replaced the probability mass
function pmf, no estimation methods, such as fit, are available, and
scale is not a valid keyword parameter. The location parameter, keyword
loc can still be used to shift the distribution.
离散分布的简单方法大多数与连续分布很类似。当然像pdf被更换为密度函数pmf，没有估计方法，像fit是可用的。而scale不是一个合法的关键字参数。Location参数，关键字loc则仍然可以使用用于位移。
The computation of the cdf requires some extra attention. In the case of
continuous distribution the cumulative distribution function is in most
standard cases strictly monotonic increasing in the bounds (a,b) and
has therefore a unique inverse. The cdf of a discrete distribution,
however, is a step function, hence the inverse cdf, i.e., the percent
point function, requires a different definition:
ppf(q) = min{x : cdf(x) = q, x integer}
Cdf的计算要求一些额外的关注。在连续分布的情况下，累积分布函数在大多数标准情况下是严格递增的，所以有唯一的逆。而cdf在离散分布，无论如何，是阶跃函数，所以cdf的逆，分位点函数，要求一个不同的定义：
ppf(q) = min{x : cdf(x) = q, x integer}
For further info, see the docs here.
为了更多信息可以看这里。
We can look at the hypergeometric distribution as an example
from scipy.stats import hypergeom
[M, n, N] = [20, 7, 12]
我们可以看这个超几何分布的例子
from scipy.stats import hypergeom
[M, n, N] = [20, 7, 12]
If we use the cdf at some integer points and then evaluate the ppf at
those cdf values, we get the initial integers back, for example
如果我们使用在一些整数点使用cdf，它们的cdf值再作用ppf会回到开始的值。
x = np.arange(4)*2
x
array([0, 2, 4, 6])
prb = hypergeom.cdf(x, M, n, N)
prb
array([ 0.0001031991744066, 0.0521155830753351, 0.6083591331269301,
0.9897832817337386])
hypergeom.ppf(prb, M, n, N)
array([ 0., 2., 4., 6.])
If we use values that are not at the kinks of the cdf step function, we get the next higher integer back:
如果我们使用的值不是cdf的函数值，则我们得到一个更高的值。
hypergeom.ppf(prb + 1e-8, M, n, N)
array([ 1., 3., 5., 7.])
hypergeom.ppf(prb - 1e-8, M, n, N)
array([ 0., 2., 4., 6.])
首先，对于你最初的问题，如果rouDIct符合(1.0, 3.0) - {1.0: 3.0}这样的格式的话，max(i for i in rouDict)（甚至max(rouDict)）就可以了。
然后用字典存储坐标实在有点别扭，用列表更自然、类更抽象，不过我不擅长OOP……列表存储的话，积分函数可以改成这样（LoP(list of points)是存储点集的列表）。
def integral(LoP):
prev, I = (None, None), 0 #initialize
for (x, y) in LoP:
if prev: #
(x0, y0), prev = prev, (x, y)
I += (y0 + y) * (x - x0) / 2
else:
prev = x, y
return I
# way to access max_x of LoP:
max(x for (x, y) in LoP)
最近，Analysis with Programming加入了Planet Python。我这里来分享一下如何通过Python来开始数据分析。具体内容如下：
数据导入
导入本地的或者web端的CSV文件；
数据变换；
数据统计描述；
假设检验
单样本t检验；
可视化；
创建自定义函数。
数据导入
1
这是很关键的一步，为了后续的分析我们首先需要导入数据。通常来说，数据是CSV格式，就算不是，至少也可以转换成CSV格式。在Python中，我们的操作如下：
import pandas as pd
# Reading data locally
df = pd.read_csv('/Users/al-ahmadgaidasaad/Documents/d.csv')
# Reading data from web
data_url = ""
df = pd.read_csv(data_url)
为了读取本地CSV文件，我们需要pandas这个数据分析库中的相应模块。其中的read_csv函数能够读取本地和web数据。
END
数据变换
1
既然在工作空间有了数据，接下来就是数据变换。统计学家和科学家们通常会在这一步移除分析中的非必要数据。我们先看看数据（下图）
对R语言程序员来说，上述操作等价于通过print(head(df))来打印数据的前6行，以及通过print(tail(df))来打印数据的后6行。当然Python中，默认打印是5行，而R则是6行。因此R的代码head(df, n = 10)，在Python中就是df.head(n = 10)，打印数据尾部也是同样道理
请点击输入图片描述
2
在R语言中，数据列和行的名字通过colnames和rownames来分别进行提取。在Python中，我们则使用columns和index属性来提取，如下：
# Extracting column names
print df.columns
# OUTPUT
Index([u'Abra', u'Apayao', u'Benguet', u'Ifugao', u'Kalinga'], dtype='object')
# Extracting row names or the index
print df.index
# OUTPUT
Int64Index([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78], dtype='int64')
3
数据转置使用T方法，
# Transpose data
print df.T
# OUTPUT
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Abra 1243 4158 1787 17152 1266 5576 927 21540 1039 5424
Apayao 2934 9235 1922 14501 2385 7452 1099 17038 1382 10588
Benguet 148 4287 1955 3536 2530 771 2796 2463 2592 1064
Ifugao 3300 8063 1074 19607 3315 13134 5134 14226 6842 13828
Kalinga 10553 35257 4544 31687 8520 28252 3106 36238 4973 40140
... 69 70 71 72 73 74 75 76 77
Abra ... 12763 2470 59094 6209 13316 2505 60303 6311 13345
Apayao ... 37625 19532 35126 6335 38613 20878 40065 6756 38902
Benguet ... 2354 4045 5987 3530 2585 3519 7062 3561 2583
Ifugao ... 9838 17125 18940 15560 7746 19737 19422 15910 11096
Kalinga ... 65782 15279 52437 24385 66148 16513 61808 23349 68663
78
Abra 2623
Apayao 18264
Benguet 3745
Ifugao 16787
Kalinga 16900
Other transformations such as sort can be done using codesort/code attribute. Now let's extract a specific column. In Python, we do it using either codeiloc/code or codeix/code attributes, but codeix/code is more robust and thus I prefer it. Assuming we want the head of the first column of the data, we have
4
其他变换，例如排序就是用sort属性。现在我们提取特定的某列数据。Python中，可以使用iloc或者ix属性。但是我更喜欢用ix，因为它更稳定一些。假设我们需数据第一列的前5行，我们有：
print df.ix[:, 0].head()
# OUTPUT 0 1243 1 4158 2 1787 3 17152 4 1266 Name: Abra, dtype: int64
5
顺便提一下，Python的索引是从0开始而非1。为了取出从11到20行的前3列数据，我们有
print df.ix[10:20, 0:3]
# OUTPUT
Abra Apayao Benguet
10 981 1311 2560
11 27366 15093 3039
12 1100 1701 2382
13 7212 11001 1088
14 1048 1427 2847
15 25679 15661 2942
16 1055 2191 2119
17 5437 6461 734
18 1029 1183 2302
19 23710 12222 2598
20 1091 2343 2654
上述命令相当于df.ix[10:20, ['Abra', 'Apayao', 'Benguet']]。
6
为了舍弃数据中的列，这里是列1(Apayao)和列2(Benguet)，我们使用drop属性，如下：
print df.drop(df.columns[[1, 2]], axis = 1).head()
# OUTPUT
Abra Ifugao Kalinga
0 1243 3300 10553
1 4158 8063 35257
2 1787 1074 4544
3 17152 19607 31687
4 1266 3315 8520
axis 参数告诉函数到底舍弃列还是行。如果axis等于0，那么就舍弃行。
END
统计描述
1
下一步就是通过describe属性，对数据的统计特性进行描述：
print df.describe()
# OUTPUT
Abra Apayao Benguet Ifugao Kalinga
count 79.000000 79.000000 79.000000 79.000000 79.000000
mean 12874.379747 16860.645570 3237.392405 12414.620253 30446.417722
std 16746.466945 15448.153794 1588.536429 5034.282019 22245.707692
min 927.000000 401.000000 148.000000 1074.000000 2346.000000
25% 1524.000000 3435.500000 2328.000000 8205.000000 8601.500000
50% 5790.000000 10588.000000 3202.000000 13044.000000 24494.000000
75% 13330.500000 33289.000000 3918.500000 16099.500000 52510.500000
max 60303.000000 54625.000000 8813.000000 21031.000000 68663.000000
END
假设检验
1
Python有一个很好的统计推断包。那就是scipy里面的stats。ttest_1samp实现了单样本t检验。因此，如果我们想检验数据Abra列的稻谷产量均值，通过零假设，这里我们假定总体稻谷产量均值为15000，我们有：
from scipy import stats as ss
# Perform one sample t-test using 1500 as the true mean
print ss.ttest_1samp(a = df.ix[:, 'Abra'], popmean = 15000)
# OUTPUT
(-1.1281738488299586, 0.26270472069109496)
返回下述值组成的元祖：
t : 浮点或数组类型t统计量
prob : 浮点或数组类型two-tailed p-value 双侧概率值
2
通过上面的输出，看到p值是0.267远大于α等于0.05，因此没有充分的证据说平均稻谷产量不是150000。将这个检验应用到所有的变量，同样假设均值为15000，我们有：
print ss.ttest_1samp(a = df, popmean = 15000)
# OUTPUT
(array([ -1.12817385, 1.07053437, -65.81425599, -4.564575 , 6.17156198]),
array([ 2.62704721e-01, 2.87680340e-01, 4.15643528e-70,
1.83764399e-05, 2.82461897e-08]))
第一个数组是t统计量，第二个数组则是相应的p值
END
可视化
1
Python中有许多可视化模块，最流行的当属matpalotlib库。稍加提及，我们也可选择bokeh和seaborn模块。之前的博文中，我已经说明了matplotlib库中的盒须图模块功能。
请点击输入图片描述
2
# Import the module for plotting
import matplotlib.pyplot as plt
plt.show(df.plot(kind = 'box'))
现在，我们可以用pandas模块中集成R的ggplot主题来美化图表。要使用ggplot，我们只需要在上述代码中多加一行，
import matplotlib.pyplot as plt
pd.options.display.mpl_style = 'default' # Sets the plotting display theme to ggplot2
df.plot(kind = 'box')
3
这样我们就得到如下图表：
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4
比matplotlib.pyplot主题简洁太多。但是在本文中，我更愿意引入seaborn模块，该模块是一个统计数据可视化库。因此我们有：
# Import the seaborn library
import seaborn as sns
# Do the boxplot
plt.show(sns.boxplot(df, widths = 0.5, color = "pastel"))
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多性感的盒式图，继续往下看。
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6
plt.show(sns.violinplot(df, widths = 0.5, color = "pastel"))
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7
plt.show(sns.distplot(df.ix[:,2], rug = True, bins = 15))
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8
with sns.axes_style("white"):
plt.show(sns.jointplot(df.ix[:,1], df.ix[:,2], kind = "kde"))
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9
plt.show(sns.lmplot("Benguet", "Ifugao", df))
END
创建自定义函数
在Python中，我们使用def函数来实现一个自定义函数。例如，如果我们要定义一个两数相加的函数，如下即可：
def add_2int(x, y):
return x + y
print add_2int(2, 2)
# OUTPUT
4
顺便说一下，Python中的缩进是很重要的。通过缩进来定义函数作用域，就像在R语言中使用大括号{…}一样。这有一个我们之前博文的例子：
产生10个正态分布样本，其中和
基于95%的置信度，计算和 ;
重复100次; 然后
计算出置信区间包含真实均值的百分比
Python中，程序如下：
import numpy as np
import scipy.stats as ss
def case(n = 10, mu = 3, sigma = np.sqrt(5), p = 0.025, rep = 100):
m = np.zeros((rep, 4))
for i in range(rep):
norm = np.random.normal(loc = mu, scale = sigma, size = n)
xbar = np.mean(norm)
low = xbar - ss.norm.ppf(q = 1 - p) * (sigma / np.sqrt(n))
up = xbar + ss.norm.ppf(q = 1 - p) * (sigma / np.sqrt(n))
if (mu low) (mu up):
rem = 1
else:
rem = 0
m[i, :] = [xbar, low, up, rem]
inside = np.sum(m[:, 3])
per = inside / rep
desc = "There are " + str(inside) + " confidence intervals that contain "
"the true mean (" + str(mu) + "), that is " + str(per) + " percent of the total CIs"
return {"Matrix": m, "Decision": desc}
上述代码读起来很简单，但是循环的时候就很慢了。下面针对上述代码进行了改进，这多亏了 Python专家
import numpy as np
import scipy.stats as ss
def case2(n = 10, mu = 3, sigma = np.sqrt(5), p = 0.025, rep = 100):
scaled_crit = ss.norm.ppf(q = 1 - p) * (sigma / np.sqrt(n))
norm = np.random.normal(loc = mu, scale = sigma, size = (rep, n))
xbar = norm.mean(1)
low = xbar - scaled_crit
up = xbar + scaled_crit
rem = (mu low) (mu up)
m = np.c_[xbar, low, up, rem]
inside = np.sum(m[:, 3])
per = inside / rep
desc = "There are " + str(inside) + " confidence intervals that contain "
"the true mean (" + str(mu) + "), that is " + str(per) + " percent of the total CIs"
return {"Matrix": m, "Decision": desc}
