def Sum(m): #函数返回两个值：递归次数，所求的值 if m==1:return 1,m return 1+Sum(m-1)[0],m+Sum(m-1)[1]cishu=Sum(10)[0] print cishu def Sum(m,n=1): ... if m==1:return n,m ... return n,m+Sum(m-1,n+1)[1] print Sum(10)[0] 10 print Sum(5)[0] 5
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我运行了一下，result的结果为[[1, 1], [1, 1], [1, 1], [1, 1]]，
你想的得到的结果是不是[[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]] ？
如果是，那么把代码改一改，原因是result里面4个arr是一个对象，要进行拷贝才能使result里面4个元素值不一样
import numpy as np
def backBack(n, cur):
if cur == n:
global result
result.append(arr[::]) #关键点
else:
for i in range(n):
arr[cur] = i
backBack(n, cur + 1)
result = []
arr=initiate(2)
backBack(2, 0)
print(result)
函数的递归调用
递归问题是一个说简单也简单，说难也有点难理解的问题.我想非常有必要对其做一个总结.
首先理解一下递归的定义，递归就是直接或间接的调用自身.而至于什么时候要用到递归，递归和非递归又有那些区别？又是一个不太容易掌握的问题，更难的是对于递归调用的理解.下面我们就从程序+图形的角度对递归做一个全面的阐述.
我们从常见到的递归问题开始:
1 阶层函数
#include iostream
using namespace std;
int factorial(int n)
{
if (n == 0)
{
return 1;
}
else
{
int result = factorial(n-1);
return n * result;
}
}
int main()
{
int x = factorial(3);
cout x endl;
return 0;
}
这是一个递归求阶层函数的实现。很多朋友只是知道该这么实现的，也清楚它是通过不断的递归调用求出的结果.但他们有些不清楚中间发生了些什么.下面我们用图对此做一个清楚的流程:
根据上面这个图，大家可以很清楚的看出来这个函数的执行流程。我们的阶层函数factorial被调用了4次.并且我们可以看出在调用后面的调用中，前面的调用并不退出。他们同时存在内存中。可见这是一件很浪费资源的事情。我们该次的参数是3.如果我们传递10000呢。那结果就可想而知了.肯定是溢出了.就用int型来接收结果别说10000，100就会产生溢出.即使不溢出我想那肯定也是见很浪费资源的事情.我们可以做一个粗略的估计:每次函数调用就单变量所需的内存为:两个int型变量.n和result.在32位机器上占8B.那么10000就需要10001次函数调用.共需10001*8/1024 = 78KB.这只是变量所需的内存空间.其它的函数调用时函数入口地址等仍也需要占用内存空间。可见递归调用产生了一个不小的开销.
2 斐波那契数列
int Fib(int n)
{
if (n = 1)
{
return n;
}
else
{
return Fib(n-1) + Fib(n-2);
}
}
这个函数递归与上面的那个有些不同.每次调用函数都会引起另外两次的调用.最后将结果逐级返回.
我们可以看出这个递归函数同样在调用后买的函数时，前面的不退出而是在等待后面的结果，最后求出总结果。这就是递归.
3
#include iostream
using namespace std;
void recursiveFunction1(int num)
{
if (num 5)
{
cout num endl;
recursiveFunction1(num+1);
}
}
void recursiveFunction2(int num)
{
if (num 5)
{
recursiveFunction2(num+1);
cout num endl;
}
}
int main()
{
recursiveFunction1(0);
recursiveFunction2(0);
return 0;
}
运行结果:
1
2
3
4
4
3
2
1
该程序中有两个递归函数。传递同样的参数，但他们的输出结果刚好相反。理解这两个函数的调用过程可以很好的帮助我们理解递归:
我想能够把上面三个函数的递归调用过程理解了，你已经把递归调用理解的差不多了.并且从上面的递归调用中我们可以总结出递归的一个规律：他是逐级的调用，而在函数结束的时候是从最后面往前反序的结束.这种方式是很占用资源，也很费时的。但是有的时候使用递归写出来的程序很容易理解，很易读.
为什么使用递归:
1 有时候使用递归写出来的程序很容易理解，很易读.
2 有些问题只有递归能够解决.非递归的方法无法实现.如:汉诺塔.
递归的条件:
并不是说所有的问题都可以使用递归解决，他必须的满足一定的条件。即有一个出口点.也就是说当满足一定条件时，程序可以结束，从而完成递归调用，否则就陷入了无限的递归调用之中了.并且这个条件还要是可达到的.
递归有哪些优点:
易读，容易理解，代码一般比较短.
递归有哪些缺点:
占用内存资源多，费时，效率低下.
因此在我们写程序的时候不要轻易的使用递归，虽然他有他的优点，但是我们要在易读性和空间，效率上多做权衡.一般情况下我们还是使用非递归的方法解决问题.若一个算法非递归解法非常难于理解。我们使用递归也未尝不可.如:二叉树的遍历算法.非递归的算法很难与理解.而相比递归算法就容易理解很多.
对于递归调用的问题，我们在前一段时间写图形学程序时，其中有一个四连同填充算法就是使用递归的方法。结果当要填充的图形稍微大一些时，程序就自动关闭了.这不是一个人的问题，所有人写出来的都是这个问题.当时我们给与的解释就是堆栈溢出。就多次递归调用占用太多的内存资源致使堆栈溢出，程序没有内存资源执行下去，从而被操作系统强制关闭了.这是一个真真切切的例子。所以我们在使用递归的时候需要权衡再三.
参考一下第一步：简单实现装饰器 def login(func): print("in Login") return func def tv(name): print("{name} in TV".format(name = name)) tv = login(tv) tv('Jack') # out: # in Login # Jack in TV 第二步：同上 效果相同，但是使用的是@login def login(func): print("in Login") return func @login def tv(name): print("{name} in TV".format(name = name)) #tv = login(tv) tv('Jack') # out: # in Login # Jack in TV 但是出现问题，注销最后的执行语句仍有输出，原因在于@login的调用，即@login相当于执行了tv = login(tv) 所以才有输出。 def login(func): print("in Login") return func @login def tv(name): print("{name} in TV".format(name = name)) #tv = login(tv) #tv('Jack') # out: # in Login 如下调整可解决 def login(func): def inner(arg): print("in Login") # return func func(arg) return inner @login def tv(name): print("{name} in TV".format(name = name)) #tv = login(tv) tv('Jack') # out: # in Login # Jack in TV 简单的递归函数 #!/usr/bin/env python #递归函数 def calc(num): print("Number:",num) if num/2 1: calc(num/2) print("After Number:",num/2) calc(10) # Number: 10 # Number: 5.0 # Number: 2.5 # Number: 1.25 # After Number: 1.25 # After Number: 2.5 # After Number: 5.0 递归实现斐波那契数列 # Fibonacci sequence # F[n]=F[n-1]+F[n-2](n=2,F[0]=1,F[1]=1) # 斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... fibList = [1,1] def getFib(fibList): print(fibList) if fibList[-1] + fibList[-2] 300: fibList.append(fibList[-1] + fibList[-2]) getFib(fibList) pass pass getFib(fibList) print("[FINAL]:",fibList) # [1, 1] # [1, 1, 2] # [1, 1, 2, 3] # [1, 1, 2, 3, 5] # [1, 1, 2, 3, 5, 8] # [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13] # [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21] # [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34] # [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55] # [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89] # [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144] # [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233] # [FINAL]: [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233]
以上的递归函数相当于：
def fact(n):
if n==1:
return 1
else:
return n*fact(n-1)
fact(1)
1
fact(5)
120
比如fact(5)的迭代过程可以表示为：
