用高斯消元法解线性方程组 的MATLAB程序
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输入的量：系数矩阵 和常系数向量 ；
输出的量：系数矩阵 和增广矩阵 的秩RA,RB, 方程组中未知量的个数n和有关方程组解 及其解的信息.
function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)
B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);
RB=rank(B);zhica=RB-RA;
if zhica0,
disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.')
return
end
if RA==RB
if RA==n
disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')
X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);
for p= 1:n-1
for k=p+1:n
m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);
end
end
b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);
for q=n-1:-1:1
X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);
end
else
disp('请注意：因为RA=RBn，所以此方程组有无穷多解.')
end
end
高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。
一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。
高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。
以下的都在我的百度空间，关于解答线性方程组的，可以去看看
这里给你源代码
//解线性方程组
//By JJ,2008
#includeiostream.h
#includeiomanip.h
#includestdlib.h
//----------------------------------------------全局变量定义区
const int Number=15; //方程最大个数
double a[Number][Number],b[Number],copy_a[Number][Number],copy_b[Number]; //系数行列式
int A_y[Number]; //a[][]中随着横坐标增加列坐标的排列顺序,如a[0][0],a[1][2],a[2][1]...则A_y[]={0,2,1...};
int lenth,copy_lenth; //方程的个数
double a_sum; //计算行列式的值
char * x; //未知量a,b,c的载体
//----------------------------------------------函数声明区
void input(); //输入方程组
void print_menu(); //打印主菜单
int choose (); //输入选择
void cramer(); //Cramer算法解方程组
void gauss_row(); //Gauss列主元解方程组
void guass_all(); //Gauss全主元解方程组
void Doolittle(); //用Doolittle算法解方程组
int Doolittle_check(double a[][Number],double b[Number]); //判断是否行列式0,若是,调整为顺序主子式全0
void xiaoqu_u_l(); //将行列式Doolittle分解
void calculate_u_l(); //计算Doolittle结果
double calculate_A(int n,int m); //计算行列式
double quanpailie_A(); //根据列坐标的排列计算的值,如A_y[]={0,2,1},得sum=a[0][ A_y[0] ] * a[1][ A_y[1] ] * a[2][ A_y[2] ]=a[0][0]*a[1][2]*a[2][1];
void exchange(int m,int i); //交换A_y[m],A_y[i]
void exchange_lie(int j); //交换a[][j]与b[];
void exchange_hang(int m,int n); //分别交换a[][]和b[]中的m与n两行
void gauss_row_xiaoqu(); //Gauss列主元消去法
void gauss_all_xiaoqu(); //Gauss全主元消去法
void gauss_calculate(); //根据Gauss消去法结果计算未知量的值
void exchange_a_lie(int m,int n); //交换a[][]中的m和n列
void exchange_x(int m,int n); //交换x[]中的x[m]和x[n]
void recovery(); //恢复数据
//主函数
void main()
{
int flag=1;
input(); //输入方程
while(flag)
{
print_menu(); //打印主菜单
flag=choose(); //选择解答方式
}
}
//函数定义区
void print_menu()
{
system("cls");
cout"------------方程系数和常数矩阵表示如下:\n";
for(int j=0;jlenth;j++)
cout"系数"j+1" ";
cout"\t常数";
coutendl;
for(int i=0;ilenth;i++)
{
for(j=0;jlenth;j++)
coutsetw(8)setiosflags(ios::left)a[i][j];
cout"\t"b[i]endl;
}
cout"-----------请选择方程解答的方案----------";
cout"\n 1. 克拉默(Cramer)法则";
cout"\n 2. Gauss列主元消去法";
cout"\n 3. Gauss全主元消去法";
cout"\n 4. Doolittle分解法";
cout"\n 5. 退出";
cout"\n 输入你的选择:";
}
void input()
{ int i,j;
cout"方程的个数:";
cinlenth;
if(lenthNumber)
{
cout"It is too big.\n";
return;
}
x=new char[lenth];
for(i=0;ilenth;i++)
x[i]='a'+i;
//输入方程矩阵
//提示如何输入
cout"====================================================\n";
cout"请在每个方程里输入"lenth"系数和一个常数:\n";
cout"例：\n方程:a";
for(i=1;ilenth;i++)
{
cout"+"i+1x[i];
}
cout"=10\n";
cout"应输入:";
for(i=0;ilenth;i++)
couti+1" ";
cout"10\n";
cout"==============================\n";
//输入每个方程
for(i=0;ilenth;i++)
{
cout"输入方程"i+1":";
for(j=0;jlenth;j++)
cina[i][j];
cinb[i];
}
//备份数据
for(i=0;ilenth;i++)
for(j=0;jlenth;j++)
copy_a[i][j]=a[i][j];
for(i=0;ilenth;i++)
copy_b[i]=b[i];
copy_lenth=lenth;
}
//输入选择
int choose()
{
int choice;char ch;
cinchoice;
switch(choice)
{
case 1:cramer();break;
case 2:gauss_row();break;
case 3:guass_all();break;
case 4:Doolittle();break;
case 5:return 0;
default:cout"输入错误,请重新输入:";
choose();
break;
}
cout"\n是否换种方法求解(Y/N):";
cinch;
if(ch=='n'||ch=='N') return 0;
recovery();
cout"\n\n\n";
return 1;
}
//用克拉默法则求解方程.
void cramer()
{
int i,j;double sum,sum_x;char ch;
//令第i行的列坐标为i
cout"用克拉默(Cramer)法则结果如下:\n";
for(i=0;ilenth;i++)
A_y[i]=i;
sum=calculate_A(lenth,0);
if(sum!=0)
{
cout"系数行列式不为零,方程有唯一的解:";
for(i=0;ilenth;i++)
{ ch='a'+i;
a_sum=0;
for(j=0;jlenth;j++)
A_y[j]=j;
exchange_lie(i);
sum_x=calculate_A(lenth,0);
coutendlch"="sum_x/sum;
exchange_lie(i);
}
}
else
{
cout"系数行列式等于零,方程没有唯一的解.";
}
cout"\n";
}
double calculate_A(int n,int m) //计算行列式
{ int i;
if(n==1) {
a_sum+= quanpailie_A();
}
else{for(i=0;in;i++)
{ exchange(m,m+i);
calculate_A(n-1,m+1);
exchange(m,m+i);
}
}
return a_sum;
}
double quanpailie_A() //计算行列式中一种全排列的值
{
int i,j,l;
double sum=0,p;
for(i=0,l=0;ilenth;i++)
for(j=0;A_y[j]!=ijlenth;j++)
if(A_y[j]i) l++;
for(p=1,i=0;ilenth;i++)
p*=a[i][A_y[i]];
sum+=p*((l%2==0)?(1):(-1));
return sum;
}
//高斯列主元排列求解方程
void gauss_row()
{
int i,j;
gauss_row_xiaoqu(); //用高斯列主元消区法将系数矩阵变成一个上三角矩阵
for(i=0;ilenth;i++)
{
for(j=0;jlenth;j++)
coutsetw(10)setprecision(5)a[i][j];
coutsetw(10)b[i]endl;
}
if(a[lenth-1][lenth-1]!=0)
{
cout"系数行列式不为零,方程有唯一的解：\n";
gauss_calculate();
for(i=0;ilenth;i++) //输出结果
{
coutx[i]"="b[i]"\n";
}
}
else
cout"系数行列式等于零,方程没有唯一的解.\n";
}
void gauss_row_xiaoqu() //高斯列主元消去法
{
int i,j,k,maxi;double lik;
cout"用Gauss列主元消去法结果如下:\n";
for(k=0;klenth-1;k++)
{
j=k;
for(maxi=i=k;ilenth;i++)
if(a[i][j]a[maxi][j]) maxi=i;
if(maxi!=k)
exchange_hang(k,maxi);//
for(i=k+1;ilenth;i++)
{
lik=a[i][k]/a[k][k];
for(j=k;jlenth;j++)
a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*lik;
b[i]=b[i]-b[k]*lik;
}
}
}
//高斯全主元排列求解方程
void guass_all()
{
int i,j;
gauss_all_xiaoqu();
for(i=0;ilenth;i++)
{
for(j=0;jlenth;j++)
coutsetw(10)setprecision(5)a[i][j];
coutsetw(10)b[i]endl;
}
if(a[lenth-1][lenth-1]!=0)
{
cout"系数行列式不为零,方程有唯一的解：\n";
gauss_calculate();
for(i=0;ilenth;i++) //输出结果
{
for(j=0;x[j]!='a'+ijlenth;j++);
coutx[j]"="b[j]endl;
}
}
else
cout"系数行列式等于零,方程没有唯一的解.\n";
}
void gauss_all_xiaoqu() //Gauss全主元消去法
{
int i,j,k,maxi,maxj;double lik;
cout"用Gauss全主元消去法结果如下:\n";
for(k=0;klenth-1;k++)
{
for(maxi=maxj=i=k;ilenth;i++)
{
for(j=k;jlenth;j++)
if(a[i][j]a[maxi][ maxj])
{ maxi=i;
maxj=j;
}
}
if(maxi!=k)
exchange_hang(k,maxi);
if(maxj!=k)
{
exchange_a_lie(maxj,k); //交换两列
exchange_x(maxj,k);
}
for(i=k+1;ilenth;i++)
{
lik=a[i][k]/a[k][k];
for(j=k;jlenth;j++)
a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*lik;
b[i]=b[i]-b[k]*lik;
}
}
}
void gauss_calculate() //高斯消去法以后计算未知量的结果
{
int i,j;double sum_ax;
b[lenth-1]=b[lenth-1]/a[lenth-1][lenth-1];
for(i=lenth-2;i=0;i--)
{
for(j=i+1,sum_ax=0;jlenth;j++)
sum_ax+=a[i][j]*b[j];
b[i]=(b[i]-sum_ax)/a[i][i];
}
}
void Doolittle() //Doolittle消去法计算方程组
{
double temp_a[Number][Number],temp_b[Number];int i,j,flag;
for(i=0;ilenth;i++)
for(j=0;jlenth;j++)
temp_a[i][j]=a[i][j];
flag=Doolittle_check(temp_a,temp_b);
if(flag==0) cout"\n行列式为零.无法用Doolittle求解.";
xiaoqu_u_l();
calculate_u_l();
cout"用Doolittle方法求得结果如下:\n";
for(i=0;ilenth;i++) //输出结果
{
for(j=0;x[j]!='a'+ijlenth;j++);
coutx[j]"="b[j]endl;
}
}
void calculate_u_l() //计算Doolittle结果
{ int i,j;double sum_ax=0;
for(i=0;ilenth;i++)
{
for(j=0,sum_ax=0;ji;j++)
sum_ax+=a[i][j]*b[j];
b[i]=b[i]-sum_ax;
}
for(i=lenth-1;i=0;i--)
{
for(j=i+1,sum_ax=0;jlenth;j++)
sum_ax+=a[i][j]*b[j];
b[i]=(b[i]-sum_ax)/a[i][i];
}
}
void xiaoqu_u_l() //将行列式按Doolittle分解
{ int i,j,n,k;double temp;
for(i=1,j=0;ilenth;i++)
a[i][j]=a[i][j]/a[0][0];
for(n=1;nlenth;n++)
{ //求第n+1层的上三角矩阵部分即U
for(j=n;jlenth;j++)
{ for(k=0,temp=0;kn;k++)
temp+=a[n][k]*a[k][j];
a[n][j]-=temp;
}
for(i=n+1;ilenth;i++) //求第n+1层的下三角矩阵部分即L
{ for(k=0,temp=0;kn;k++)
temp+=a[i][k]*a[k][n];
a[i][n]=(a[i][n]-temp)/a[n][n];
}
}
}
int Doolittle_check(double temp_a[][Number],double temp_b[Number]) //若行列式不为零,将系数矩阵调整为顺序主子式大于零
{
int i,j,k,maxi;double lik,temp;
for(k=0;klenth-1;k++)
{
j=k;
for(maxi=i=k;ilenth;i++)
if(temp_a[i][j]temp_a[maxi][j]) maxi=i;
if(maxi!=k)
{ exchange_hang(k,maxi);
for(j=0;jlenth;j++)
{ temp=temp_a[k][j];
temp_a[k][j]=temp_a[maxi][j];
temp_a[maxi][j]=temp;
}
}
for(i=k+1;ilenth;i++)
{
lik=temp_a[i][k]/temp_a[k][k];
for(j=k;jlenth;j++)
temp_a[i][j]=temp_a[i][j]-temp_a[k][j]*lik;
temp_b[i]=temp_b[i]-temp_b[k]*lik;
}
}
if(temp_a[lenth-1][lenth-1]==0) return 0;
return 1;
}
void exchange_hang(int m,int n) //交换a[][]中和b[]两行
{
int j; double temp;
for(j=0;jlenth;j++)
{ temp=a[m][j];
a[m][j]=a[n][j];
a[n][j]=temp;
}
temp=b[m];
b[m]=b[n];
b[n]=temp;
}
void exchange(int m,int i) //交换A_y[m],A_y[i]
{ int temp;
temp=A_y[m];
A_y[m]=A_y[i];
A_y[i]=temp;
}
void exchange_lie(int j) //交换未知量b[]和第i列
{ double temp;int i;
for(i=0;ilenth;i++)
{ temp=a[i][j];
a[i][j]=b[i];
b[i]=temp;
}
}
void exchange_a_lie(int m,int n) //交换a[]中的两列
{ double temp;int i;
for(i=0;ilenth;i++)
{ temp=a[i][m];
a[i][m]=a[i][n];
a[i][n]=temp;
}
}
void exchange_x(int m,int n) //交换未知量x[m]与x[n]
{ char temp;
temp=x[m];
x[m]=x[n];
x[n]=temp;
}
void recovery() //用其中一种方法求解后恢复数据以便用其他方法求解
{
for(int i=0;ilenth;i++)
for(int j=0;jlenth;j++)
a[i][j]=copy_a[i][j];
for(i=0;ilenth;i++)
b[i]=copy_b[i];
for(i=0;ilenth;i++)
x[i]='a'+i;
a_sum=0;
lenth=copy_lenth;
}
#includeiostream
#includecmath
using namespace std;
#define MAX 50
void input(double a[MAX][MAX+1],int n)
{
cout"输入原方程组的增广矩阵"endl;
for(int i=0;in;i++)
for(int j=0;jn+1;j++)
cina[i][j];
}
void output(double x[],int n)
{
cout"Gauss 消去法得到的原方程组的解为"endl;
for(int k=0;kn;k++)
coutx[k]" ";
}
int main()
{
double a[MAX][MAX+1],x[MAX],sum,max,t;
int n,i,j,k,max_i;
cout"输入原方程组的阶"endl; cinn;
input(a,n);
for(k=0;kn-1;k++)//选主元素
{ max=a[k][k];
max_i=k;
for(i=k+1;in;i++)
if(fabs(a[i][k])fabs(max))
{
max=a[i][k];
max_i=i;
}
if(max==0)
break;
if(max_i!=k)//交换两行
for(j=k;jn+1;j++)
{
t=a[k][j];
a[k][j]=a[max_i][j];
a[max_i][j]=t;
}
for(i=k+1;in;i++)
{
a[i][k]=a[i][k]/-a[k][k];
for(j=k+1;jn+1;j++)
a[i][j]=a[i][j]+a[i][k]*a[k][j];
}//消元
}
if(max==0)cout"原方程组无解"endl;
else
{
for(k=n-1;k=0;k--)
{
sum=0;
for(j=k+1;jn;j++)
sum=sum+a[k][j]*x[j];
x[k]=(a[k][n]-sum)/a[k][k];
}//回代
output(x,n);
coutendl;
}
return 0;
}
其包括两个过程： 消去过程：把方程组系数矩阵A化为同解的上三角矩阵； 回代过程：按相反的顺序，从xn至x1逐个求解上三角方程组。 %高斯消去法的MATLAB程序 function x=gauss(a,b); %编写高斯消去法函数 %a表示方程组的系数矩阵，b表示方程组的值 %X表示最终的输出结果，即方程组的解 n=length(b); %计算方程组的维数 %下面的程序在不断的消去，直到变成a变成上三角矩阵未知 for k=1:n-1 for i=k+1:n a(i,k)=a(i,k)/a(k,k); for j=k+1:n a(i,j)=a(i,j)-a(i,k)*a(k,j); end b(i)=b(i)-a(i,k)*b(k); end end %表示高斯消去法的回带过程 x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/a(n,n); for k=n-1:-1:1 s=b(k); for j=k+1:n s=s-a(k,j)*x(j); end x(k)=s/a(k,k); end 实例验证： %调用编好的消去法函数 A=[1,2,3;2,2,3;-1,-3,10];B=[0,3,2];gauss(A,B) ans = 3.0000 -1.5517 0.0345 A=[1,2,3;2,2,3;-1,-3,10];B=[0,3,2];x=gauss(A,B) x = 3.0000 -1.5517 0.0345 A*x %反代求解进行比较 ans = 0.0000 3.0000 2.0000
