codeforces455E-创新互联

题目：http://codeforces.com/problemset/problem/455/E codeforces455E

题意：给定数组a，及f的定义：

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f[1][j] = a[j]; 1 <= j <= n

f[i][j] = min(f[i-1][j-1], f[i-1][j]) + a[j]; 2 <= i <= j <= n

给定q个询问，每个询问为l,r,求f[l][r]

My solution:

写一些小数据就可以发现，其实对于一个询问l,r,其实等价于：

从[r-l+1, r]这个区间内取l个数，使其和最小。但是比较特殊的是，一个数可以取多次，并且如果取了一个x，那么[x+1,r]间的所有数必须得取。

例如，对于n=3， a = {2, 1, 3}

询问l=3, r=3的取法有：3+3+3=9， 3+3+1=7, 3+1+1=5, 3+1+2= 6；答案为3+1+1=5

2.设答案f[l][r]的询问答案合法区间是在[x, r]这一段取得的，我们还可以发现如下的性质：

1)a[x]一定是[x,r]中最小的，否则存在 x<=y<=r, a[y] <= a[x],比[x,r]更优的区间[y, r]

除[y, r]的共同区间外，剩下的l-y-r个[y,r]区间可以全取a[y]，显然比[x,r]更小

2)a[x+1]~a[y]各取一个，剩下的全取a[x]，因为a[x]是区间最小元素，取越多答案越小

3.基于2我们可以维护一个递增的序列来求答案，但是这样还是不够，妥妥TlE

只能看下决策之间有什么关系了；

对于询问（l,r)不妨设两个决策k

那么 (sum[r] - sum[k]) - (l - (r - k)) * a[k] <= (sum[r] - sum[j]) - (l - (r - j)) * a[j];

整理一下式子：

(sum[k] - a[k]*k) - (sum[j] - a[j]*j) / (a[k] - a[j]) <= l - r;

这不就是个斜率的式子，剩下的就是维护一个凸壳即可

4.具体的话对于询问按照r排序，然后离线做

然后二分一左边界，找到合法区间完，再二分找到合法的斜率。具体看代码吧

code：

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 #include 
 5 #include 
 6 #include 
 7 #include 
 8 #include 
 9 #include 
10 #include 
11 #include 
12 #include 
13 #include 
14 #include 
15 #include 
16 #include 
17 #include 
18 #include 
19 #include 
20 #include 
21 #define M0(x) memset(x, 0, sizeof(x))
22 #define pb push_back
23 #define mp make_pair
24 #define x first
25 #define y second
26 #define vii vector< pair >::iterator 
27 using namespace std;
28 const int maxn = 100010;
29 vector< pair > ask[maxn];
30 int n, m;
31 long long sum[maxn], ans[maxn];
32 int s[maxn], top, a[maxn];
33 
34 inline double slope(int k, int j){
35  double yk = sum[k] - (double)k * a[k], yj = sum[j] - (double)j * a[j];
36  return (yk - yj) / (a[k] - a[j]);
37 }
38 
39 void init(){
40   for (int i = 1; i <= n; ++i)
41         scanf("%d", a+i), sum[i] = sum[i-1] + a[i];
42   for (int i = 0; i <= n; ++i) ask[i].clear();
43     scanf("%d", &m);
44   int l, r;
45   for (int i = 0; i < m; ++i){
46          scanf("%d%d", &l, &r);
47          ask[r].pb(mp(l, i));
48     }
49 }
50 
51 void solve(){
52   int top = 0;
53   int l, r, mid, pos;
54   for (int i = 1; i <= n; ++i){
55   while (top > 0 && a[s[top]] >= a[i]) --top;
56   while (top > 1 && slope(s[top], i) >= slope(s[top-1], i)) --top;
57           s[++top] = i;
58   for (vii it = ask[i].begin(); it != ask[i].end(); ++it){
59                 l = lower_bound(s+1, s+top+1, i-it->x+1) - s;
60                 r = top-1, pos = i;
61   while (l <= r){
62                       mid = (l + r) >> 1;
63   if (slope(s[mid], s[mid+1]) <= it->x - i) pos = s[mid], r = mid - 1;
64   else l = mid + 1;
65                 }
66                 ans[it->y] = sum[i] - sum[pos] + (long long)a[pos]*(it->x+pos-i);
67           }    
68     }
69   for (int i = 0; i < m; ++i)
70        printf("%I64d
", ans[i]); 
71 }
72 int main(){
73 //    freopen("a.in","r",stdin);
74 //    freopen("a.out","w",stdout);75   while (scanf("%d", &n) != EOF){
76         init();
77         solve();
78     }
79   return 0;
80 }

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