平滑函数。
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交叉熵损失函数，也称为对数损失或者logistic损失。当模型产生了预测值之后，将对类别的预测概率与真实值（由0或1组成）进行不比较，计算所产生的损失，然后基于此损失设置对数形式的惩罚项。
在神经网络中，所使用的Softmax函数是连续可导函数，这使得可以计算出损失函数相对于神经网络中每个权重的导数（在《机器学习数学基础》中有对此的完整推导过程和案例，这样就可以相应地调整模型的权重以最小化损失函数。
扩展资料：
注意事项：
当预测类别为二分类时，交叉熵损失函数的计算公式如下图，其中y是真实类别（值为0或1），p是预测类别的概率（值为0~1之间的小数）。
计算二分类的交叉熵损失函数的python代码如下图，其中esp是一个极小值，第五行代码clip的目的是保证预测概率的值在0~1之间，输出的损失值数组求和后，就是损失函数最后的返回值。
参考资料来源：百度百科-交叉熵
参考资料来源：百度百科-损失函数
在使用pytorch深度学习框架，计算损失函数的时候经常回到这么一个个函数：
该损失函数结合了 和 两个函数。它在做分类（具体几类）训练的时候是非常有用的。在训练过程中，对于每个类分配权值，可选的参数权值应该是一个1D张量。当你有一个不平衡的训练集时，这是是非常有用的。那么针对这个函数，下面将做详细的介绍。
交叉熵主要是用来判定实际的输出与期望的输出的接近程度 ，为什么这么说呢，举个例子：在做分类的训练的时候，如果一个样本属于第K类，那么这个类别所对应的的输出节点的输出值应该为1，而其他节点的输出都为0，即[0,0,1,0,….0,0]，这个数组也就是样本的Label，是神经网络最期望的输出结果。也就是说用它来衡量网络的输出与标签的差异，利用这种差异经过反向传播去更新网络参数。
在说交叉熵之前，先说一下 信息量 与 熵 。
信息量： 它是用来衡量一个事件的不确定性的；一个事件发生的概率越大，不确定性越小，则它所携带的信息量就越小。假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为X，概率分布函数为 ，我们定义事件 的信息量为：
当 时，熵将等于0，也就是说该事件的发生不会导致任何信息量的增加。
熵： 它是用来衡量一个系统的混乱程度的，代表一个系统中信息量的总和；信息量总和越大，表明这个系统不确定性就越大。
举个例子：假如小明和小王去打靶，那么打靶结果其实是一个0-1分布，X的取值有{0：打中，1：打不中}。在打靶之前我们知道小明和小王打中的先验概率为10%，99.9%。根据上面的信息量的介绍，我们可以分别得到小明和小王打靶打中的信息量。但是如果我们想进一步度量小明打靶结果的不确定度，这就需要用到熵的概念了。那么如何度量呢，那就要采用 期望 了。我们对所有可能事件所带来的信息量求期望，其结果就能衡量小明打靶的不确定度：
与之对应的，小王的熵（打靶的不确定度）为： 虽然小明打靶结果的不确定度较低，毕竟十次有9次都脱靶；但是小王打靶结果的不确定度更低，1000次射击只有1次脱靶，结果相当的确定。
交叉熵： 它主要刻画的是实际输出（概率）与期望输出（概率）的距离，也就是交叉熵的值越小，两个概率分布就越接近。假设概率分布p为期望输出，概率分布q为实际输出， 为交叉熵，则 那么该公式如何表示，举个例子，假设N=3，期望输出为 ，实际输出 ， ，那么： 通过上面可以看出，q2与p更为接近，它的交叉熵也更小。
Pytorch中计算的交叉熵并不是采用 这种方式计算得到的，而是交叉熵的另外一种方式计算得到的： 它是交叉熵的另外一种方式。
Pytorch中CrossEntropyLoss()函数的主要是将softmax-log-NLLLoss合并到一块得到的结果。
1、Softmax后的数值都在0~1之间，所以ln之后值域是负无穷到0。
2、然后将Softmax之后的结果取log，将乘法改成加法减少计算量，同时保障函数的单调性
3、NLLLoss的结果就是把上面的输出与Label对应的那个值拿出来(下面例子中就是：将log_output\logsoftmax_output中与y_target对应的值拿出来)，去掉负号，再求均值。
下面是我仿真写的一个例子：
最计算得到的结果为：
通过上面的结果可以看出，直接使用pytorch中的loss_func=nn.CrossEntropyLoss()计算得到的结果与softmax-log-NLLLoss计算得到的结果是一致的。
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tf.keras里面有许多内置的损失函数可以使用，由于种类众多，以几个常用的为例：
BinaryCrossentropy是用来进行二元分类交叉熵损失函数的，共有如下几个参数
如果输入的from_logits是true，那么首先就要经过激活函数的处理。那对于一个[batch_size，num_class]的logits,进行sigmoid激活就是对将tensor中的每个元素x转为sigmoid(x).构成矩阵P， 代表的就是样本i属于标签j概率，即：
然后在这个基础上计算二分类的交叉熵，这里的二分类交叉熵是tensor中的每个元素都独立的，所以会有[batch_size，num_class]个loss，以下 表示真实的标签
然后在axis=-1维度做了reduce_mean操作，变成了[batch_size]维度的loss，最后再经过reduction里面指定的处理方法，再对batch求一次平均值。另外，这个方法如果在from_logits=True的情况下，可以用tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits来代替，阅读源码，在tf.keras里面就是调的这个函数，sigmoid_cross_entropy_with_logits返回的是[batch_size]个loss，最后我们再接一个reduce_mean就可以变成标量了。
CategoricalCrossentropy是用来处理多分类的，同样有以上这几个参数。但是激活函数不一样，使用的是softmax激活函数，softmax的过程如下
经过激活函数之后，每一行的元素代表了这个样本属于各类别的概率，并且概率和为1，即[batch_size，num_class]里面的每一行的和为1，然后进行交叉熵计算,这里和binary_cross_entropy不同，这里中间计算出来的loss的shape只有[batch_size]了。多分类是二分类的扩展，二分类可以看成两个互斥的标签，而多分类则是多个互斥的标签
SparseCategoricalCrossentropy损失函数同CategoricalCrossentropy类似，只是输入不一样，该损失函数的输入的y_true是[batch_size]个标签，每个元素是label对应的index，没有经过one-hot编码，这个方法如果在from_logits=True的情况下，和tf.nn.sparse_sigmoid_cross_entropy_with_logits再接一个reduce_mean是类似的效果。
MeanSquaredError损失函数（均方差）一般用来解决回归问题，参数只有两个，默认即可。
均方差就是y_pred语y_true对应元素的差的平方，然后求和在求平均
损失函数用来表示输出与实际值的差距。常用的损失函数为0-1损失函数、平方损失函数、绝对损失函数、对数损失函数、交叉熵损失函数。
损失函数计算得到的损失又叫期望损失。学习的目标就是选择期望风险最小的模型。
期望风险 = 经验风险+结构风险
期望风险是模型关于联合概率分布的期望损失；经验风险是模型关于训练样本集的损失，结构风险时在经验风险的基础上加上正则化。
根据大数定理，当N趋近于无穷时，经验风险时趋近于期望风险的。
当样本数量足够大时，经验风险最小化能保证很好的学习效果。极大似然估计就是经验风险最小化的例子。
ANN的设计目的之一是为了使机器可以像人一样学习知识。人在学习分析新事物时，当发现自己犯的错误越大时，改正的力度就越大。比如投篮：当运动员发现自己的投篮方向离正确方向越远，那么他调整的投篮角度就应该越大，篮球就更容易投进篮筐。同理， 我们希望：ANN在训练时，如果预测值与实际值的误差越大，那么在 反向传播训练 的过程中，各种参数调整的幅度就要更大，从而使训练更快收敛。
（1）均方差损失函数
然而，如果使用二次代价函数训练ANN，看到的实际效果是，如果误差越大，参数调整的幅度可能更小，训练更缓慢。
以一个神经元的二类分类训练为例，进行两次实验（ANN常用的激活函数为sigmoid函数，该实验也采用该函数）：输入一个相同的样本数据x=1.0（该样本对应的实际分类y=0）；两次实验各自随机初始化参数，从而在各自的第一次前向传播后得到不同的输出值，形成不同的代价（误差）：
在实验1中，随机初始化参数，使得第一次输出值为0.82（该样本对应的实际值为0）；经过300次迭代训练后，输出值由0.82降到0.09，逼近实际值。而在实验2中，第一次输出值为0.98，同样经过300迭代训练，输出值只降到了0.20。
从两次实验的代价曲线中可以看出： 实验1的代价随着训练次数增加而快速降低，但实验2的代价在一开始下降得非常缓慢；直观上看，初始的误差越大，收敛得越缓慢 。、
其实，误差大导致训练缓慢的原因在于使用了二次代价函数。二次代价函数的公式如下： 其中，C表示代价，x表示样本，y表示实际值，a表示输出值，n表示样本的总数。为简单起见，同样一个样本为例进行说明，此时二次代价函数为： ，a为神经元的实际输出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。
目前训练ANN最有效的算法是 反向传播算法 。简而言之，训练ANN就是通过反向传播代价，以减少代价为导向，调整参数。参数主要有：神经元之间的连接权重w，以及每个神经元本身的偏置b。调参的方式是采用梯度下降算法（Gradient descent），沿着梯度方向调整参数大小。w和b的梯度推导w为
其中，z表示神经元的输入， 表示激活函数。从以上公式可以看出，w和b的梯度跟激活函数的梯度成正比，激活函数的梯度越大，w和b的大小调整得越快，训练收敛得就越快。而神经网络常用的激活函数为sigmoid函数，该函数的曲线如下所示：
因为sigmoid函数的性质，导致σ′(z)在z取大部分值时会很小（如下图标出来的两端，几近于平坦），这样会使得w和b更新非常慢（因为η * a * σ′(z)这一项接近于0）。
如图所示， 实验2的初始输出值（0.98）对应的梯度明显小于实验1的输出值（0.82），因此实验2的参数梯度下降得比实验1慢。这就是初始的代价（误差）越大，导致训练越慢的原因。 与我们的期望不符，即：不能像人一样，错误越大，改正的幅度越大，从而学习得越快。
可能有人会说，那就选择一个梯度不变化或变化不明显的激活函数不就解决问题了吗？那样虽然简单粗暴地解决了这个问题，但可能会引起其他更多更麻烦的问题。而且，类似sigmoid这样的函数（比如tanh函数）有很多优点，非常适合用来做激活函数。
（2）交叉熵损失函数
交叉熵损失函数可以认为是真实输出与预测输出等结果分布等距离。其损失函数与softmax损失函数的区别在于一个标签是否是one-hot。与二次代价函数相比，它能更有效地促进ANN的训练。
其公式为
其中，x表示样本，n表示样本的总数。那么，重新计算参数w的梯度：
这里
由于 。可证
w的梯度公式中原来的 被消掉了， 表示输出值与实际值之间的误差。所以，当误差越大，梯度就越大，参数w调整得越快，训练速度也就越快。
同理可得，b的梯度表示 。实际情况证明，交叉熵代价函数带来的训练效果往往比二次代价函数要好。
那么交叉熵损失函数是如何提出的呢？
以偏置b的梯度计算为例，推导出交叉熵代价函数：
在均方误差计算中
可以得到 ;想要消除 ,即得到 ；等式两边求积分得到
二、损失函数的分类
（1）分类问题
1、0-1损失函数
0-1损失函数表示当预测不正确的时候取值为1，否则取值为0。该损失函数能够直观的刻画分类的错误率，但是由于其非凸、非光滑的特点，使得算法很难直接对该函数进行优化。
2、Hinge损失
Hinge损失函数是0-1损失函数相对紧的凸上界，且当预测小于1的时候,该函数不对其做任何处罚。由于Hinge损失在f.y=1处不可导，因此不能使用梯度下降算法优化，而是使用次梯度下降法。
3、Logistic损失函数
Logistic损失函数也是0-1损失函数的凸上界，且该函数处处光滑，因此可以使用梯度下降法进行优化。但是，该函数对所有样本点都做惩罚，因此 对异常点更为敏感 。
4、Cross Entropy
（2）回归问题
1、均方差损失函数
当预测值距离真实值越远时，平方损失函数的惩罚力度越大，因此对异常点比较敏感。
2、绝对值损失函数
绝对损失函数对异常点更鲁棒。但是，绝对损失函数在f=y处无法求导。
3、Huber损失
Huber损失函数在|f-y|较小时为平方损失，在|f-y|较大的时采用线性损失，处处可导，且对异常点鲁棒。
从零开始用Python构建神经网络
动机：为了更加深入的理解深度学习，我们将使用 python 语言从头搭建一个神经网络，而不是使用像 Tensorflow 那样的封装好的框架。我认为理解神经网络的内部工作原理，对数据科学家来说至关重要。
这篇文章的内容是我的所学，希望也能对你有所帮助。
神经网络是什么?
介绍神经网络的文章大多数都会将它和大脑进行类比。如果你没有深入研究过大脑与神经网络的类比，那么将神经网络解释为一种将给定输入映射为期望输出的数学关系会更容易理解。
神经网络包括以下组成部分
? 一个输入层，x
? 任意数量的隐藏层
? 一个输出层，?
? 每层之间有一组权值和偏置，W and b
? 为隐藏层选择一种激活函数，σ。在教程中我们使用 Sigmoid 激活函数
下图展示了 2 层神经网络的结构(注意：我们在计算网络层数时通常排除输入层)
2 层神经网络的结构
用 Python 可以很容易的构建神经网络类
训练神经网络
这个网络的输出 ? 为：
你可能会注意到，在上面的等式中，输出 ? 是 W 和 b 函数。
因此 W 和 b 的值影响预测的准确率. 所以根据输入数据对 W 和 b 调优的过程就被成为训练神经网络。
每步训练迭代包含以下两个部分:
? 计算预测结果 ?，这一步称为前向传播
? 更新 W 和 b,，这一步成为反向传播
下面的顺序图展示了这个过程：
前向传播
正如我们在上图中看到的，前向传播只是简单的计算。对于一个基本的 2 层网络来说，它的输出是这样的：
我们在 NeuralNetwork 类中增加一个计算前向传播的函数。为了简单起见我们假设偏置 b 为0：
但是我们还需要一个方法来评估预测结果的好坏(即预测值和真实值的误差)。这就要用到损失函数。
损失函数
常用的损失函数有很多种，根据模型的需求来选择。在本教程中，我们使用误差平方和作为损失函数。
误差平方和是求每个预测值和真实值之间的误差再求和，这个误差是他们的差值求平方以便我们观察误差的绝对值。
训练的目标是找到一组 W 和 b，使得损失函数最好小，也即预测值和真实值之间的距离最小。
反向传播
我们已经度量出了预测的误差(损失)，现在需要找到一种方法来传播误差，并以此更新权值和偏置。
为了知道如何适当的调整权值和偏置，我们需要知道损失函数对权值 W 和偏置 b 的导数。
回想微积分中的概念，函数的导数就是函数的斜率。
梯度下降法
如果我们已经求出了导数，我们就可以通过增加或减少导数值来更新权值 W 和偏置 b(参考上图)。这种方式被称为梯度下降法。
但是我们不能直接计算损失函数对权值和偏置的导数，因为在损失函数的等式中并没有显式的包含他们。因此，我们需要运用链式求导发在来帮助计算导数。
链式法则用于计算损失函数对 W 和 b 的导数。注意，为了简单起见。我们只展示了假设网络只有 1 层的偏导数。
这虽然很简陋，但是我们依然能得到想要的结果—损失函数对权值 W 的导数(斜率)，因此我们可以相应的调整权值。
现在我们将反向传播算法的函数添加到 Python 代码中
为了更深入的理解微积分原理和反向传播中的链式求导法则，我强烈推荐 3Blue1Brown 的如下教程：
Youtube：
整合并完成一个实例
既然我们已经有了包括前向传播和反向传播的完整 Python 代码，那么就将其应用到一个例子上看看它是如何工作的吧。
神经网络可以通过学习得到函数的权重。而我们仅靠观察是不太可能得到函数的权重的。
让我们训练神经网络进行 1500 次迭代，看看会发生什么。 注意观察下面每次迭代的损失函数，我们可以清楚地看到损失函数单调递减到最小值。这与我们之前介绍的梯度下降法一致。
让我们看看经过 1500 次迭代后的神经网络的最终预测结果：
经过 1500 次迭代训练后的预测结果
我们成功了!我们应用前向和方向传播算法成功的训练了神经网络并且预测结果收敛于真实值。
注意预测值和真实值之间存在细微的误差是允许的。这样可以防止模型过拟合并且使得神经网络对于未知数据有着更强的泛化能力。
下一步是什么?
幸运的是我们的学习之旅还没有结束，仍然有很多关于神经网络和深度学习的内容需要学习。例如：
? 除了 Sigmoid 以外，还可以用哪些激活函数
? 在训练网络的时候应用学习率
? 在面对图像分类任务的时候使用卷积神经网络
我很快会写更多关于这个主题的内容，敬请期待!
最后的想法
我自己也从零开始写了很多神经网络的代码
虽然可以使用诸如 Tensorflow 和 Keras 这样的深度学习框架方便的搭建深层网络而不需要完全理解其内部工作原理。但是我觉得对于有追求的数据科学家来说，理解内部原理是非常有益的。
这种练习对我自己来说已成成为重要的时间投入，希望也能对你有所帮助
机器学习中的损失函数
损失函数（loss function）是用来估量你模型的预测值f(x)与真实值Y的不一致程度，它是一个非负实值函数,通常使用L(Y, f(x))来表示，损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子：
其中，前面的均值函数表示的是经验风险函数，L代表的是损失函数，后面的是正则化项（regularizer）或者叫惩罚项（penalty term），它可以是L1，也可以是L2，或者其他的正则函数。整个式子表示的意思是找到使目标函数最小时的值。下面主要列出几种常见的损失函数。
一、log对数损失函数（逻辑回归）
有些人可能觉得逻辑回归的损失函数就是平方损失，其实并不是。平方损失函数可以通过线性回归在假设样本是高斯分布的条件下推导得到，而逻辑回归得到的并不是平方损失。在逻辑回归的推导中，它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），然后求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等等。而逻辑回归并没有求似然函数的极值，而是把极大化当做是一种思想，进而推导出它的经验风险函数为：最小化负的似然函数（即max F(y, f(x)) —- min -F(y, f(x)))。从损失函数的视角来看，它就成了log损失函数了。
log损失函数的标准形式：
L(Y,P(Y|X))=?logP(Y|X)L(Y,P(Y|X))=?log?P(Y|X)刚刚说到，取对数是为了方便计算极大似然估计，因为在MLE中，直接求导比较困难，所以通常都是先取对数再求导找极值点。损失函数L(Y, P(Y|X))表达的是样本X在分类Y的情况下，使概率P(Y|X)达到最大值（换言之，就是利用已知的样本分布，找到最有可能（即最大概率）导致这种分布的参数值；或者说什么样的参数才能使我们观测到目前这组数据的概率最大）。因为log函数是单调递增的，所以logP(Y|X)也会达到最大值，因此在前面加上负号之后，最大化P(Y|X)就等价于最小化L了。
逻辑回归的P(Y=y|x)表达式如下：P(Y=y|x)=11+exp(?yf(x))P(Y=y|x)=11+exp(?yf(x))
将它带入到上式，通过推导可以得到logistic的损失函数表达式，如下：
L(y,P(Y=y|x))=log(1+exp(?yf(x)))L(y,P(Y=y|x))=log?(1+exp(?yf(x)))
逻辑回归最后得到的目标式子如下：
如果是二分类的话，则m值等于2，如果是多分类，m就是相应的类别总个数。这里需要解释一下：之所以有人认为逻辑回归是平方损失，是因为在使用梯度下降来求最优解的时候，它的迭代式子与平方损失求导后的式子非常相似，从而给人一种直观上的错觉。
这里有个PDF可以参考一下：Lecture 6: logistic regression.pdf.
二、平方损失函数（最小二乘法, Ordinary Least Squares ）
最小二乘法是线性回归的一种，OLS将问题转化成了一个凸优化问题。在线性回归中，它假设样本和噪声都服从高斯分布（为什么假设成高斯分布呢？其实这里隐藏了一个小知识点，就是中心极限定理，可以参考【central limit theorem】），最后通过极大似然估计（MLE）可以推导出最小二乘式子。最小二乘的基本原则是：最优拟合直线应该是使各点到回归直线的距离和最小的直线，即平方和最小。换言之，OLS是基于距离的，而这个距离就是我们用的最多的欧几里得距离。为什么它会选择使用欧式距离作为误差度量呢（即Mean squared error， MSE），主要有以下几个原因：
简单，计算方便；
欧氏距离是一种很好的相似性度量标准；
在不同的表示域变换后特征性质不变。
平方损失（Square loss）的标准形式如下：
(Y,f(X))=(Y?f(X))2L(Y,f(X))=(Y?f(X))2
当样本个数为n时，此时的损失函数变为：
Y-f(X)表示的是残差，整个式子表示的是残差的平方和，而我们的目的就是最小化这个目标函数值（注：该式子未加入正则项），也就是最小化残差的平方和（residual sum of squares，RSS）。
而在实际应用中，通常会使用均方差（MSE）作为一项衡量指标，公式如下：
MSE=1n∑i=1n(Yi~?Yi)2MSE=1n∑i=1n(Yi~?Yi)2
上面提到了线性回归，这里额外补充一句，我们通常说的线性有两种情况，一种是因变量y是自变量x的线性函数，一种是因变量y是参数的线性函数。在机器学习中，通常指的都是后一种情况。
三、指数损失函数（Adaboost）
学过Adaboost算法的人都知道，它是前向分步加法算法的特例，是一个加和模型，损失函数就是指数函数。在Adaboost中，经过m此迭代之后，可以得到:
Adaboost每次迭代时的目的是为了找到最小化下列式子时的参数 和G：
而指数损失函数(exp-loss）的标准形式如下
可以看出，Adaboost的目标式子就是指数损失，在给定n个样本的情况下，Adaboost的损失函数为：
关于Adaboost的推导，可以参考Wikipedia：AdaBoost或者《统计学习方法》P145.
四、Hinge损失函数（SVM）
在机器学习算法中，hinge损失函数和SVM是息息相关的。在线性支持向量机中，最优化问题可以等价于下列式子：
下面来对式子做个变形，令：
于是，原式就变成了：
如若取，式子就可以表示成：
可以看出，该式子与下式非常相似：
前半部分中的就是hinge损失函数，而后面相当于L2正则项。
Hinge 损失函数的标准形式
可以看出，当|y|=1时，L(y)=0。
更多内容，参考Hinge-loss。
补充一下：在libsvm中一共有4中核函数可以选择，对应的是-t参数分别是：
0-线性核；
1-多项式核；
2-RBF核；
3-sigmoid核。
五、其它损失函数
除了以上这几种损失函数，常用的还有：
0-1损失函数
绝对值损失函数
下面来看看几种损失函数的可视化图像，对着图看看横坐标，看看纵坐标，再看看每条线都表示什么损失函数，多看几次好好消化消化。
OK，暂时先写到这里，休息下。最后，需要记住的是：参数越多，模型越复杂，而越复杂的模型越容易过拟合。过拟合就是说模型在训练数据上的效果远远好于在测试集上的性能。此时可以考虑正则化，通过设置正则项前面的hyper parameter，来权衡损失函数和正则项，减小参数规模，达到模型简化的目的，从而使模型具有更好的泛化能力。
